简介

SymPy 是一个开源的符号计算Python库，SymPy采用了宽松的BSD开源协议，并且完全免费。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统（CAS），同时保持代码尽可能简单，以便于理解和扩展。

本学习笔记参考官方的教程：https://docs.sympy.org/latest/tutorials

安装

如果你使用Anacoda，无需安装，Anacoda内置了SymPy。

如果你使用pip：

1	pip install sympy

前置芝士

会Python就行。数学水平因人而异，根据自己的需要选用相应的功能。

什么是符号计算？

前面提到，SymPy是一个 符号计算 库，那么什么是符号计算。符号计算（Symbolic Computation），就是在计算机上用符号精确表示数学对象，而不是得到一个近似的数值解。

看一个例子：

1
2
3

>>>import math
>>>math.sqrt(8)
2.8284271247461903

Python的math库给出的计算 $\sqrt 8$ 的结果是 $2.8284271247461903$ ，然而实际上，这只是 $\sqrt 8$ 的一个近似值，我们知道，它的精确值是不能用有限的小数表示的。

而在SymPy中：

1
2
3

>>> from sympy import *
>>> sqrt(8)
2*sqrt(2)

SymPy给我们的结果是 $\sqrt 8 = 2 \sqrt 2$ ，这才是一个精确的化简的结果。在SymPy中，非完全平方数的平方根默认会被保留。

定义符号与计算

在SymPy中，符号需要在使用前用Symbol()或symbols()来定义：

1
2
3

a = Symbol('a') 
x, y = symbols('x y')
# symbols接受一系列用空格或逗号隔开的符号，返回对应的变量

最好将变量名设置得与符号名一致，方便记忆和使用。除非符号中包含了Python不允许的符号，或者符号名太长，想使用一个短一点的变量名来表示。

SymPy支持直接使用+、-、*、/、**来操作这些符号。

>>> x, y = symbols("x y") 
>>> expr = x + 2*y
>>> expr
x + 2*y
>>> expr + 1 - x
2*y + 1
>>> expr / 2
x/2 + y

输入x * expr你会发现SymPy并没有为我们展开表达式为x**2 + 2*x*y，而是保留了x*(x + 2*y)的形式。因为因式分解是SymPy默认的化简操作，你也可以利用expand来展开，用factor来分解。

>>> expand(x * expr)
x**2 + 2*x*y
>>> factor(2*x**2 - 7*x - 4)
(x - 4)*(2*x + 1)

SymPy计算出了展开 $x(x + 2y)$ 的结果 $x^2 + 2xy$ ，和因式分解 $2x^2 - 7x - 4$ 的结果 $(x-4)(2x+1)$ 。

输出

可以通过调整一些选项改变SymPy输出的格式。

用init_printing(use_unicode=True)可以允许SymPy使用Unicode输出。

计算 $\int^{+\infty}_{-\infty}\sin(x^2)dx$

>>> init_printing(use_unicode=False)   
>>> integrate(sin(x**2), (x, -oo, oo))
  ___   ____
\/ 2 *\/ pi
------------
     2
>>> init_printing(use_unicode=True)  
>>> integrate(sin(x**2), (x, -oo, oo)) 
√2⋅√π
─────
  2

第一个输出中SymPy使用了字符画的方式画出 $\sqrt \quad$ ，使用了pi表示 $\pi$ 。第二个输出使用了Unicode字符“√”和“π”。

SymPy还可以使用 $\LaTeX$ :

1 2	>>> latex(Integral(cos(x)**2, (x, 0, pi))) \int\limits_{0}^{\pi} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

将\int\limits_{0}^{\pi} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx使用任意一个 $\LaTeX$ 编译器编译，就可以得到下面这样漂亮的结果：

\int\limits_{0}^{\pi} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

符号的替换

用subs()，但注意subs()并不改变原表达式。

>>> expr = cos(x) + 1
>>> expr.subs(x, y)
cos(y) + 1
>>> expr
cos(x) + 1

也可以替换数字，进行在某一点求值的操作。

1
2
3

>>> expr = sin(2*x) + cos(2*x)
>>> expr.subs(x, pi/5)
-1/4 + sqrt(5)/4 + sqrt(sqrt(5)/8 + 5/8)

也可以替换多个符号

1
2
3

>>> expr = x**3 + 4*x*y - z
>>> expr.subs([(x, 2), (y, 4), (z, 0)])
40

字符串转表达式

用sympify()（不是symplify（）

>>> str_expr = "x**2 + 3*x - 1/2"
>>> expr = sympify(str_expr)
>>> expr
x**2 + 3*x - 1/2
>>> expr.subs(x, 2)
19/2

表达式转浮点数

用evalf()

1
2
3

>>> expr = sqrt(8)
>>> expr.evalf()
2.82842712474619

默认情况下，会给出15位的精度，但是也可以指定所需要的精度

1 2	expr.evalf(100) 2828427124746190097603377448419396157139343750753896146353359475981464956924214077700775068655283145

如果想要用subs()进行单点求值后再用evalf()进行数值估计，用expr.evalf(subs={<Symbol>: <Value>})是比expr.subs(<Symbol>, <Value>).evalf()更推荐的方法。因为这样会使计算更高效且稳定。

1
2
3

>>> expr = cos(2*x)
>>> expr.evalf(subs={x: 2.4})
0.0874989834394464

假如指定了chop=True，SymPy会自动移除小于期望精度的舍入误差

>>> one = cos(1)**2 + sin(1)**2
>>> (one - 1).evalf()
-0.e-124
>>> (one - 1).evalf(chop=True)
0

多点求值

使用SymPy对表达式做多点的求值（比如成千上万点后）是比较慢的。如果有这种需求，可以对表达式lambdify()后交给其他库处理（比如NumPy或SciPy）

>>> import numpy                                     
>>> a = numpy.arange(10)
>>> expr = sin(x)
>>> f = lambdify(x, expr, "numpy") 
>>> f(a)
array([ 0.        ,  0.84147098,  0.90929743,  0.14112001, -0.7568025 ,
       -0.95892427, -0.2794155 ,  0.6569866 ,  0.98935825,  0.41211849])

lambdify()将一个SymPy表达式转换成一个计算表达式在某点的值的函数，以便于使用其他库进行计算。

本文属于系列文章：SymPy学习笔记